一、解Xn-1/Xn=2n,求Xn=? 高一数列问题.
X(n-1)/X(2n)=2n(???)--->
X(n)=2nX(n-1)
X(n-1)=2(n-1)X(n-2)
X(n-2)=2(n-1)X(n-3)
..................
X2=2X1
X1=a (此处是笔者所添加.)
把这n个等式的两边分别相乘,得到
Xn=a*2^(n-1)*n!
如果给足了初始条件,例如X1=2,就可以得到Xn=2^n*n!=(2n)!!
1/2N
Xn-1/Xn=2n,求Xn等于什么,用含n的代数式表示.
Xn=X(n-1)/(2n)=X(n-2)/[2n*2(n-1)]=...=X1/[2n*2(n-1)*...*(2*3)*(2*2)]
=X1/[2^(n-1)*n!]
Xn-1/Xn=2n
Xn-1=2nXn
(1-2n)Xn=1
Xn=1/(1-2n)
二、高二数学(4)
(1)。 1.设fn(x)=x^n+x-1==>fn"(x)=nx^(n-1)+1,则当x>0时,
fn(x)递增,即只可能有1个根。
2。当n≥2时,(1+1/n)^n0,所以当n≥2时
fn(x)在((1+n)^(-1/n),n/n+1)有1个根,即
(Xn)^n+(Xn)-1=0,(1+n)^(-1/n)0==》
Xn-X(n-1)>0==》数列{Xn}单调递增。
三、设x1 x2 ……xn属于R+ x1+x2+……+xn=1求
设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证
x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(n+1) (1)
证明 据柯西不等式得:
(1+x1+1+x2+…1+xn)*[x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥(x1+x2+…+xn)^2
(1+n)*[x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥1
x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(1+n).
为何重复提问?
不等式(1)等价于
n/(n+1)>=x1/(1+x1)+x2/(1+x2)+……+xn/(1+xn) (2)
1/(1+x1)+1/(1+x2)+……+1/(1+xn)>=n^2/(n+1) (3)
四、数列{Xn}X1=a0
1. 用数学归纳法证明:
(1) 当n=2时,x2 = (1/2)(x1+a/x1) = (a+1)/2 ≥√a 成立;
(2) 假设当n=k时,xk ≥√a 成立,则必有 xk > 0
于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)据数学归纳法原理,得 对n≥2, 总有Xn≥√a
2. 用比较法证明:
对n≥2,结合 1 证得的结论,可得
xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)
= xn/2 - a/(2xn)
≥ (√a)/2 - a/(2√a)
= 0
故 对n≥2, 总有Xn≥X(n+1)
证明:1,对n≥2,总有Xn≥√a
2,对n≥2,总有Xn≥X(n+1)